Константа Эмбри — Трефетена

Константа Эмбри — Трефетена — это математическая константа в теории чисел, обозначаемая β*. Приближённое значение константы 0,70258.

Названа в честь математиков Марка Эмбри и Ллойда Н. Трефетена.

Описание

Для некоторого положительного числа [math]\displaystyle{ \beta }[/math] рассмотрим рекуррентную последовательность:

[math]\displaystyle{ x_{n+1}=x_n\pm\beta x_{n-1} }[/math]

где знак в сумме, плюс или минус, выбирается для каждого n случайно, с равной вероятностью.

Можно доказать, что для любого [math]\displaystyle{ \beta }[/math], предел

[math]\displaystyle{ \sigma(\beta)=\lim_{n \to \infty}({|x_n|}^{1/n}) }[/math]

существует почти наверняка.

Таким образом,

[math]\displaystyle{ \sigma \lt 1 }[/math] при [math]\displaystyle{ 0 \lt \beta \lt \beta^* }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma \gt 1 }[/math] при [math]\displaystyle{ \beta \gt \beta^* }[/math].

Для других значений [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] получаем:

[math]\displaystyle{ \sigma(1) = 1{,}13198824... }[/math](константа Висваната)

[math]\displaystyle{ \sigma(\beta^*) = 1 }[/math]

См. также

• Случайная последовательность Фибоначчи